Aplicaciones Derivadas

Conceptos 

El Costo Marginal mide como cambia el costo cuando hay un cambio en la producción. Se utiliza para la toma de decisiones cuando hay una mayor demanda.
Es la derivada del costo total

Ingreso Marginal. Se expresa como la derivada del Ingreso Total. 

La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a costo marginal.

Utilidad Marginal

El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. 
Cuando un bien está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los bienes difíciles de conseguir es alta a causa de su rareza. 

Ejercicio:

Un fabricante establece que el comportamiento de costo y precio de su producto están dados por las ecuaciones:

Con base en esa información, calcule lo que se pide a continuación:

a) Usar la función costo marginal para estimar el costo de producir la unidad 38 (Derivada de la función Costo)

b) Calcular el costo real de producir la unidad 38 (Sustituir en la función Costo)

c) Utilizar la función ingreso marginal para estimar el ingreso obtenido al producir la unidad 38 (Derivada de la función Ingreso= Precio por unidades)

d) Calcular el ingreso real al producir la unidad 38 (Sustituir en a función precio por unidades)

e) Usar la utilidad marginal para determinar la utilidad correspondiente al vender la unidad 38 (Derivada de la utilidad, la utilidad = Precio menos Costo)

f) ¿Qué cantidad de unidades se deben producir para generar la utilidad máxima? (Utilidad Marginal igualada a cero)

g) ¿A cuánto corresponde esa utilidad?

h) Trace la gráfica de unidades vendidas vs. Ingresos

Formulario Derivadas e Integrales

Limites

EJERCICIO DE CLASE

APLICACIONES DE DERIVADAS

El Costo Marginal mide como cambia el costo cuando hay un cambio en la producción. Se utiliza para la toma de decisiones cuando hay una mayor demanda. Es la derivada del costo total

Ingreso Marginal. Se expresa como la derivada del Ingreso Total. La condición de equilibrio de la empresa que desea maximizar su beneficio es ingreso marginal igual a costo marginal.

Utilidad Marginal

El precio de un bien se define a través de su utilidad marginal, no a través de la utilidad objetiva. Cuando un bien está disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad marginal de los bienes difíciles de conseguir es alta a causa de su rareza.

Utilidad Marginal= Ingreso Marginal - Costo Marginal

Ejercicio:

Un fabricante establece que el comportamiento de costo y precio de su producto están dados por las ecuaciones:

Con base en esa información, calcule lo que se pide a continuación:

a) Usar la función costo marginal para estimar el costo de producir la unidad 38

b) Calcular el costo real de producir la unidad 38

c) Utilizar la función ingreso marginal para estimar el ingreso obtenido al producir la unidad 38

d) Calcular el ingreso real al producir la unidad 38

e) Usar la utilidad marginal para determinar la utilidad correspondiente al vender la unidad 38

f) ¿Qué cantidad de unidades se deben producir para generar la utilidad máxima?

g) ¿A cuánto corresponde esa utilidad?

h) Trace la gráfica de unidades vendidas vs. Ingresos

DESIGUALDADES (INECUACIONES)

SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3X3

6. Una compañía debe fabricar diariamente un total de 100 herramientas de 3 tipos; cinceles, desarmadores y martillos. Los costos de fabricación de cada tipo de herramienta son de $40.00, $60.00 y $70.00 respectivamente, y se venden en $60.00, $90.00 y $120.00 cada uno. El costo de fabricación de las 100 herramientas es de $5,200.00, y el ingreso por ventas de $8,100.00. ¿Cuántas unidades de cada tipo se fabrican al día?

7. En un taller de cerámica, se fabrican jarrones, ensaladeras y ceniceros, con un costo mensual de $6500.00 por 180 artículos. Los costos de fabricación de los jarrones, ensaladeras y ceniceros son de $50.00, $40.00 y $30.00 respectivamente. Si se venden a $200.00, $120.00 y $90.00 respectivamente, ¿cuántos artículos de cada tipo se deben fabricar para obtener $21,000.00 de ingresos mensuales?

GUÍA PRIMER PARCIAL

EJERCICIOS DE REPASO 

1. Resuelve 3x-8=15

2. Resuelve 3/4 x + 5/7=14

3. Resuelve 6x-4=12+x

4. Un tinaco puede ser llenado por una tubería 28 minutos, y por otra en 35 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán ambas en llenar el tinaco juntas?

5. Determine dos números cuya diferencia sea cuatro y la diferencia de sus cuadrados sea uno menos que el séptuplo del número mayor.

6. Una productora de café tiene costos fijos de $14,493.00 y le cuesta $15.35 producir un kilo de café. Si la productora vende cada kilo de café en $47.00 ¿Cuántos kilos de café necesita vender para estar en "punto de equilibrio"?

7. Se invierten en dos instrumentos financieros $50,000.00. Una parte en un bono con un interés del 7.2% anual y el resto en valores con un interés del 6.20% anual. El interés total que recibió el inversionista al final de un año fue equivalente a una tasa del 8.63% anual sobre el total de la inversión inicial. ¿Cuál fue la cantidad invertida al 6.20%?

8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones gráficamente 

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

10. Grafíca la función y= 3x+2

sistemas de ecuaciones de 2x2

SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2

          Método de reducción por suma y resta

1.  Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números (cambio de signo si es necesario) que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, pero deberán ser de signo contrario.

2. Se suman las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita.

3. Se despeja la incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

Método Gráfico

Este método permite analizar visualmente el problema. Se observan los siguientes casos:

a.  Si las rectas se intersectan en un solo punto entonces la ecuación tiene una única solución.   

b. Cuando las rectas son paralelas el sistema no tiene solución, y el  proceso  algebraico conduce a una contradicción.

c.      Cuando aparecen las rectas sobrepuestas el sistema tiene infinitas soluciones.

El método consiste en graficar cada una de las ecuaciones y observar si cumple con algunos de los tres casos señalados anteriormente

1. Un albañil mezcla 2 clases de arena, blanca de $1.59 y negra de $2.49 la libra. Si la combinación pesa 240 libras y se vende a $2.19 cada libra, ¿cuántas libras de cada clase emplea?

            1.59 b +2.49 n= 2.19 (b+n)
                b + n =240

               solución n= 160   b= 80

2. ¿Cuántas libras de café de $5.25 la libra se deben mezclar con 45 libras de café de $3 cada una para formar una combinación que se venda a $4 la libra?

                  
                   5.25 x +3 y= 4 (x+y)
                            x + y =45

         solución: x= 20   y= 25

EJERCICIOS DE  CLASE
Resuelve gráficamente

Método de determinantes o Cramer:

Si el sistema es: 

 

donde ${\displaystyle a,d}$ son los coeficientes de la variable x${\displaystyle b,e}$ son los coeficientes de la variable y ${\displaystyle c,f}$ son los términos independientes.

1. El valor de x es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x${\displaystyle x}$ e y;  cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de 
   ${\displaystyle x}$ por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
2. El valor de y es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema y está formado por los coeficientes de las variables x e y${\displaystyle y}$; y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.